题目：等腰梯形ABCD中，AD平行BC，且BC
解法1：托勒密定理
①辅助线：作等腰梯形ABCD的对称轴l；作P关于直线l的对称点P"；连接PP"、AP"、BP"、CP"、DP’;
②则AP"=DP=4，BP"=CP=3，CP"=BP=2，DP"=AP=1；
【资料图】
③应用托勒密定理：定理证明 | 托勒密定理
在四边形APP"D中：PP"×AD+AP×DP"=AP"×DP
所以PP"×AD+1×1=4×4
所以PP"×AD=15 (1)
在四边形BPP"C中：PP"×BC+BP×CP"=BP"×CP
所以PP"×BC+2×2=3×3
所以PP"×BC=5 (2)
由(2)÷(1)得：BC:AD=1:3
解法2：斯图瓦特定理
①辅助线：延长AB、DC相交于点E，连接PE；
②应用斯图尔特定理：
在△APE中：
a×b×（a+b）+4×（a+b）=1×a+s2×b (1)
在△DPE中：
a×b×（a+b）+9×（a+b）=16×a+s2×b (2)
由(2)-(1)得：b=2a，BC:AD=BE:AE=1:3
补充：斯图尔特定理证明
解法3：建系暴力解题
①辅助线：构造平面直角坐标系如图所示，设点的坐标如图所示；
②用两点间的距离公式：
由PA2-PD2得：4ac=-15
由PB2-PC2得：4bc=-5
所以a:b=1:3，BC:AD=1:3
解法1：托勒密定理
①辅助线：作等腰梯形ABCD的对称轴l；作P关于直线l的对称点P"；连接PP"、AP"、BP"、CP"、DP’;
②则AP"=DP=4，BP"=CP=3，CP"=BP=2，DP"=AP=1；
【资料图】
③应用托勒密定理：定理证明 | 托勒密定理
在四边形APP"D中：PP"×AD+AP×DP"=AP"×DP
所以PP"×AD+1×1=4×4
所以PP"×AD=15 (1)
在四边形BPP"C中：PP"×BC+BP×CP"=BP"×CP
所以PP"×BC+2×2=3×3
所以PP"×BC=5 (2)
由(2)÷(1)得：BC:AD=1:3
解法2：斯图瓦特定理
①辅助线：延长AB、DC相交于点E，连接PE；
②应用斯图尔特定理：
在△APE中：
a×b×（a+b）+4×（a+b）=1×a+s2×b (1)
在△DPE中：
a×b×（a+b）+9×（a+b）=16×a+s2×b (2)
由(2)-(1)得：b=2a，BC:AD=BE:AE=1:3
补充：斯图尔特定理证明
解法3：建系暴力解题
①辅助线：构造平面直角坐标系如图所示，设点的坐标如图所示；
②用两点间的距离公式：
由PA2-PD2得：4ac=-15
由PB2-PC2得：4bc=-5
所以a:b=1:3，BC:AD=1:3
